Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 0 + 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 0 + 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 0 + 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 & 4 - λ & 0 + 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 & 4 - λ & 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $- 4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 & 4 - λ & 0 \\ - 4 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 & 4 - λ & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) ((4 - λ) (- 1 - λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Espandi $(4 - λ) (- 1 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (4 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (4 \cdot - 1 + 4 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (4 \cdot - 1 + 4 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 + 4 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.3

Moltiplica $- λ \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + 1 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.3.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ + λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Somma $- 4 λ$ e $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 3 λ + λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 3 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $- 4 - 3 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 3 λ + λ^{2}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.3

Sposta $- 4$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.4

Riordina $- 3 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 1 \cdot 8 - (- 4 (4 - λ)))$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - (- 4 (4 - λ)))$

Passaggio 5.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - (- 4 \cdot 4 - 4 (- λ)))$

Passaggio 5.4.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - (- 16 - 4 (- λ)))$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - (- 16 + 4 λ))$

Passaggio 5.4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - - 16 - (4 λ))$

Passaggio 5.4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 + 16 - (4 λ))$

Passaggio 5.4.2.1.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 + 16 - 4 λ)$

Passaggio 5.4.2.2

Somma $- 8$ e $16$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (8 - 4 λ)$

Passaggio 5.4.2.3

Riordina $8$ e $- 4 λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Somma $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ e $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Espandi $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Riscrivi $- 1 λ^{2}$ come $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{2} - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.4

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.4.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.4.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.4.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.6

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.6.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.6.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.2.8

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 4 λ + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.3

Somma $- λ^{2}$ e $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.4

Somma $3 λ$ e $4 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 7 λ + 4 - λ^{3} + 1 (- 4 λ + 8)$

Passaggio 5.5.2.5

Moltiplica $- 4 λ + 8$ per $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 7 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ + 8$

Passaggio 5.5.3

Sottrai $4 λ$ da $7 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} + 8$

Passaggio 5.5.4

Somma $4$ e $8$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 3 λ - λ^{3} + 12$

Passaggio 5.5.5

Sposta $3 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - λ^{3} + 3 λ + 12$

Passaggio 5.5.6

Riordina $2 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 2 λ^{2} + 3 λ + 12$